रैखिक समीकरण को प्रणाली सुलझाने लागि सरल पुनरावृत्ति विधि (Slough)

यसलाई स्पष्ट एक क्रमिक मार्फत अज्ञात मूल्य को मान फेला लागि गणितीय अल्गोरिदम - सरल पुनरावृत्ति विधि पनि क्रमिक लगभग को विधि, भनिन्छ। यो विधि को सार नाम implies रूपमा, बिस्तारै पछि व्यक्तिहरूलाई को थालनी लगभग, व्यक्त थप परिष्कृत परिणाम हुँदै गइरहेका छन् छन्, कि छ। यो विधि दिइएको समारोह मा चर को मूल्य पाउन प्रयोग गरिन्छ, र समीकरण को प्रणाली सुलझाने, रैखिक र गैर-रैखिक दुवै।

गरेको यो विधि रैखिक प्रणाली को समाधान लागू कसरी हेरौं। निम्नानुसार स्थिर बिन्दु पुनरावृत्ति अल्गोरिदम छ:

1 को convergence अवस्था प्रारम्भिक म्याट्रिक्स मा प्रमाणिकरण। एक convergence प्रमेय: मूल सिस्टम म्याट्रिक्स diagonally प्रवल छ भने (अर्थात्, मुख्य विकर्ण को तत्व को प्रत्येक पङ्क्ति निरपेक्ष मान मा तत्व पक्ष diagonals योगफल भन्दा परिमाण मा ठूलो हुनुपर्दछ), सरल पुनरावृत्ति को विधि - संमिलित।

2. मूल सिस्टम को म्याट्रिक्स छैन सधैं विकर्ण predominance छ। यस्तो अवस्थामा, प्रणाली परिवर्तन गर्न सकिन्छ। को convergence अवस्था पूरा कि समीकरण unsatisfying संग, जस्ताको तस्तै छोडेर रैखिक संयोजन बनाउन छ, अर्थात् सँगै जोडेको समीकरण इच्छित परिणाम उत्पादन गर्न गुणन, घटाउनुहोस्।

मुख्य विकर्ण मा प्राप्त सिस्टम असुविधाजनक कारक हो भने, त्यसपछि यो समीकरण दुवै पक्षलाई गर्न फारम को सर्तहरू थपिएका छन् _म जो विकर्ण तत्व को संकेत संकेत संग एकै समयमा पर्नु _{पर्छ,} एक्स _म *।

3. सामान्य दृश्यमा परिणाम सिस्टम रूपान्तर:

^{एक्स - = β - + α *} एक्स -

निम्नानुसार यो, थुप्रै तरिकामा, जस्तै मा गर्न सकिन्छ: पहिलो समीकरण vtorogo- एक्स ₂ देखि अन्य अज्ञात मार्फत एक्स ₁ व्यक्त _{गर्न,} एक्स tretego- आदि को ₃ यसरी हामी सूत्र प्रयोग गर्दै:

_{α ij = - (एक ij /} एक द्वितीय)

_म = _म ख / एक _{द्वितीय}
निश्चित फेरि सामान्य प्रकार को परिणामस्वरूप प्रणाली convergence अवस्था अनुरूपको बनाउन:

Σ (j = 1) | α _ij | ≤ 1, र म = 1,2, ... N

4 वास्तवमा, प्रयोग क्रमिक approximations को विधि सुरु।

एक्स ⁽⁰⁾ - प्रारम्भिक लगभग हामी therethrough एक्स ^(1), एक्स पछि ⁽¹⁾ एक्सप्रेस x व्यक्त ^(2)। एक म्याट्रिक्स फारम को सामान्य सूत्र निम्नानुसार:

एक्स ^{(एन) = β - + α} * (x n- ¹⁾

हामी, गणना सम्म हामी इच्छित शुद्धता पुग्न:

_{अधिकतम | एक्स म (K) -x} म (K + 1) ≤ ε

त्यसैले, व्यवहार मा हेर्न सरल पुनरावृत्ति को विधि गरौं। उदाहरण:
रैखिक प्रणाली समाधान:

4,5x1-1.7x2 + 3.5x3 = 2
3.1x1 + 2.3x2-1.1x3 = 1
1.8x1 + 2.5x2 + 4.7x3 = 4 शुद्धता संग ε = 10 ^-3

मोड्युल को विकर्ण तत्व भने विजयी हेर्नुहोस्।

हामी convergence अवस्था तेस्रो समीकरण द्वारा सन्तुष्ट छ कि हेर्नुहोस्। पहिलो र दोस्रो परिवर्तन, हामी दुई थप्न पहिलो समीकरण:

7,6x1 + 0.6x2 + 2.4x3 = 3

तेस्रो एक देखि घटाउनुहोस्:

-2,7x1 + 4.2x2 + 1.2x3 = 2

हामी बराबर मा मूल सिस्टम परिवर्तन गरेका छन्:

7,6x1 + 0.6x2 + 2.4x3 = 3
-2,7x1 + 4.2x2 + 1.2x3 = 2
1.8x1 + 2.5x2 + 4.7x3 = 4

अब हामी सामान्य दृश्यमा प्रणाली कम:

X1 = 0.3947-0.0789x2-0.3158x3
एक्स 2 = 0.4762 + 0.6429x1-0.2857x3
x3 = 0.8511-0.383x1-0.5319x2

हामी iterative प्रक्रियाको convergence जाँच गर्नुहोस्:

0,0789 + 0,3158 = 0,3947 ≤ 1
0,6429 + 0,2857 = 0,9286 ≤ 1
0.383+ 0.5319 = 0.9149 ≤ 1, अर्थात् अवस्था भेट भएको छ।

.3947
प्रारम्भिक लगभग एक्स ⁽⁰⁾ = 0.4762
.8511

सामान्य प्रकारको समीकरण मा यी मान विकल्प, हामीले निम्न मान प्राप्त:

0,08835
एक्स ⁽¹⁾ = 0.486793
0.446639

विकल्प नयाँ मान, हामी प्राप्त:

0.215243
एक्स ⁽²⁾ = 0.405396
0.558336

हामी तपाईंलाई तोकिएको अवस्था पूरा मान नजिक प्राप्त नभएसम्म सम्म गणना जारी।

0,18813

एक्स ⁽⁷⁾ = 0.441091

0.544319

0.188002

एक्स ⁽⁸⁾ = 0.44164

0.544428

परिणाम को विशुद्धता जाँच गर्नुहोस्:

4,5 * 0,1880 -1,7 * 0,441 + 3,5 * 0,544 = 2,0003
3,1 * 0,1880 + 2,3 * 0,441-1.1x * 0,544 = 0,9987
1,8 * 2,5 * 0,1880 + 0,441 + 4,7 * 0,544 = 3,9977

मूल समीकरण मा प्राप्त मान स्थानापन्न प्राप्त परिणाम, पूर्ण समीकरण पूरा।

हामी देख्न सक्छौं रूपमा, सरल पुनरावृत्ति विधि एक एकदम सही परिणाम दिन्छ, तर यो समीकरण समाधान गर्न, हामी धेरै समय खर्च र दुष्कर गणना गर्न थियो।