प्रगति ज्यामितीय र यसको गुण

प्रगति ज्यामितीय एक विज्ञान रूपमा गणित महत्त्वपूर्ण छ, र महत्त्व, यो पनि मा, एक अत्यन्तै व्यापक स्कोप छ देखि लागू , उच्च गणित श्रृंखला को सिद्धान्त मा, उदाहरणका लागि। प्रगति पहिलो जानकारी विशेष रूप Rhind papyrus सात बिरालोहरु सात व्यक्ति एक चिरपरिचित समस्या को रूप मा, पुरातन मिश्र हामीलाई आए। यो कार्य को बदलाव अन्य जातिका विभिन्न समयमा धेरै पटक दोहोर्याइएको थियो। पनि Velikiy लियोनार्डो Pizansky, फिबोनैकी रूपमा चिनिने (XIII ग।), आफ्नो मा उनको बोले "को Abacus को बुक।"

को प्रगति ज्यामितीय प्राचीन इतिहास छ भनेर। यसलाई (यो सामान्यतया पत्र Q प्रयोग नामित) स्थिर, nonzero नम्बर डिनोमिनेटर प्रगति भनिन्छ कि मा अघिल्लो पुनरावृत्ति सूत्र गुणन गर्दाको निर्धारण गरिन्छ दोस्रो सुरु हुने, एक nonzero पहिलो सदस्य एक संख्यात्मक अनुक्रम प्रतिनिधित्व गर्दछ, र प्रत्येक पछि।
प्रस्ट छ, यो अघिल्लो गर्न अनुक्रम प्रत्येक पछि अवधि विभाजन गरेर पाउन सकिन्छ, अर्थात् Z 2: Z 1 = ... = ZN: Z N-1 = .... फलस्वरूप, सबै भन्दा काम प्रगति (ZN) पर्याप्त लागि यो डिनोमिनेटर र वाई 1 Q को पहिलो शब्द को मूल्य थाह छ।

28, 112 - - 4 (Q <0), त्यसपछि निम्न प्रगति ज्यामितीय 7 प्राप्त छ - उदाहरणका लागि, 1 = 7, Q = Z गरौं 448, .... तपाईं देख्न सक्नुहुन्छ रूपमा, परिणाम अनुक्रम छैन Monotone छ।

monotonous एक मनपरी अनुक्रम (वृद्धि / घट्दै) कि यसको सदस्यहरूको थप एक / कम अघिल्लो एक भन्दा पालना गर्दा सम्झनुहोस्। उदाहरणका लागि, अनुक्रम 2, 5, 9, ..., र -10, -100, -1000, ... - Monotone, दोस्रो एक - एक प्रगति ज्यामितीय घट्दै।

जहाँ Q = 1, सबै सदस्यहरू हुन फेला, र यो निरन्तर प्रगति भनिन्छ मामला मा।

सुरू दोस्रो देखि, यसको सदस्य प्रत्येक छिमेकी सदस्यहरु को ज्यामितीय मतलब हुनुपर्छ: अनुक्रम यस प्रकारको को प्रगति, यो निम्न आवश्यक र पर्याप्त अवस्था, अर्थात् पूरा गर्नुपर्छ थियो।

यो सम्पत्ति केही दुई आसन्न खोजन मनपरी अवधि प्रगति अन्तर्गत अनुमति दिन्छ।

N-औं अवधि exponentially सजिलै सूत्र फेला: ZN = Z 1 * Q ^ (N-1), Z थाह पहिलो सदस्य 1 र डिनोमिनेटर Q।

यस देखि नम्बर अनुक्रम एक योगफल छ, त्यसपछि केही सरल गणना हामीलाई सदस्य, अर्थात् पहिलो प्रगति योगफल गणना गर्न एक सूत्र दिन:

एस N = - (ZN * Q - Z 1) / (1 - Q)।

सूत्र मा प्रतिस्थापन, यसको अभिव्यक्ति मूल्य ZN Z 1 * Q ^ (N-1) प्रगति को दोस्रो योगफल सूत्र प्राप्त गर्न: एस N = - z1 मा * (थ ^ N - 1) / (1 - Q)।

माटोलाई ट्याब्लेट उत्खनन मा फेला: ध्यान लायकको निम्न रोचक तथ्य छ पुरातन बेबिलोनको, को को छठी बुझाउँछ जो। ई.पू., उल्लेखनीय तरिका योगफल समावेश 1 + 2 + ... + 2 22 + 29 बराबर यो घटना को व्याख्या 1 दशौं शक्ति माइनस गर्न अझै पाइएको छैन।

अनुक्रम को अन्त्य देखि बराबर दूरी मा अन्तरालमा यसको सदस्य को स्थिर काम, - हामी प्रगति ज्यामितीय को गुण को एक याद गर्नुहोस्।

दृश्य एक वैज्ञानिक बिन्दुबाट विशेष महत्व, असीमित प्रगति ज्यामितीय रूपमा यस्तो कुरा र यसको रकम गणना। कि (yn) मानेर -, एक प्रगति ज्यामितीय भइरहेको डिनोमिनेटर Q सन्तुष्ट अवस्था | Q | <1, यसको रकम हामीले पहिले नै यसको पहिलो सदस्य योगफल थाहा जो तिर सीमा, N को असीमित वृद्धि संग उल्लेख गरिनेछ, त्यसपछि यसलाई मा छ अनन्त आउँदै।

सूत्र प्रयोग फलस्वरूप यो रकम पाउन:

एस N = वाई 1 / (1- Q)।

र, अनुभव देखाइएको छ, यो प्रगति को स्पष्ट सादगी लागि एक विशाल आवेदन संभावित लुकेको छ। उदाहरणका लागि, हामी वर्गहरूको एक अनुक्रम निम्न अल्गोरिदम अनुसार, अघिल्लो एक को midpoints जडान निर्माण भने, त्यसपछि तिनीहरूले एक वर्ग अनन्त प्रगति ज्यामितीय डिनोमिनेटर 1/2 भइरहेको गठन। एउटै प्रगति फारम र ट्यूटोरियल को क्षेत्र, निर्माण को प्रत्येक चरण मा प्राप्त, र यसको योगफल मूल वर्ग क्षेत्र बराबर छ।